Sakset/Fra hofta

Forrige

I en likebent trekant er vinklene ved grunnlinjen like store; og hvis de like store rette linjene forlenges, blir vinklene under grunnlinjen like store.

La ABC være en likebent trekant hvor side AB er lik side AC [20. definisjon], og sett av de rette linjene BD og CE i forlengelsen av AB og AC [2. postulat].

Jeg sier da at vinkel ABC er lik vinkel ACB, og at vinkel CBD er lik vinkel BCE.

Ta et tilfeldig punkt F på BD, og skjær av linjen AG med samme lengde som AF fra den lengre linjen AE [3. proposisjon], og trekk de rette linjene FC og GB [1. postulat].

Siden AF er lik AG og AB er lik AC, så er de to sidene FA og AC parvis lik de to sidene GA og AB, og de inneslutter den felles vinkelen FAG.

Altså vil grunnlinjen FC være lik grunnlinjen GB, trekanten AFC være lik trekanten AGB, og de øvrige vinklene være parvis like store, altså de som ligger overfor de like sidene, det vil si at vinkel ACF er lik vinkel ABG, og vinkel AFC er lik vinkel AGB [4. proposisjon].

Og siden hele AF er lik hele AG, og AB er lik AC på disse igjen, så er resten BF lik resten CG [3. aksiom].

Men det ble også bevist at FC er lik GB, altså er de to sidene BF og FC parvis lik de to sidene CG og GB, og vinkel BFC er lik vinkel CGB, og deres grunnlinje BC er felles. Altså vil trekanten BFC være lik trekanten CGB, og de øvrige vinklene, som ligger overfor like store sider, vil være parvis like store. Altså er vinkel FBC lik vinkel GCB, og vinkel BCF lik vinkel CBG [4. proposisjon].

Siden det nå ble bevist at hele vinkelen ABG er lik vinkel ACF, og at vinkel CBG er lik vinkel BCF i disse, er den gjenværende vinkelen ABC lik den gjenværende vinkelen ACB [3. aksiom], og de ligger ved grunnlinjen i trekanten ABC. Men vinkel FBC ble tidligere bevist å være lik vinkel GCB, og disse ligger under grunnlinjen.

I en likebent trekant er derfor vinklene ved grunnlinjen like store, og hvis de like store rette linjene forlenges, vil vinklene under grunnlinjen være like store, hvilket skulle bevises.

Neste