Fra innledningen til første bok av Euklids Elementer, frem til beviset for første proposisjon:

Definisjoner

1. Et punkt er det som ikke kan deles.
2. En linje er en lengde uten bredde.
3. Endene av en linje er punkter.
4. En rett linje er den som ligger jevnt mellom sine punkter.
5. En flate er det som bare har lengde og bredde.
6. Endene av en flate er linjer.
7. En plan flate er en flate som ligger jevnt mellom linjene som kan trekkes på selve flaten.
8. En plan vinkel er den innbyrdes helningen mellom to linjer i et plan når disse skjærer hverandre og ikke ligger på en rett linje.
9. Når linjene som danner vinkelen er rette, kalles vinkelen rettlinjet.
10. Når en rett linje som står på en annen rett linje gjør vinklene på begge sider like store, er begge disse like vinklene rette, og den ene linjen sies å være vinkelrett på den andre.
11. En stump vinkel er en vinkel som er større enn en rett vinkel.
12. En spiss vinkel er en vinkel som er mindre enn en rett vinkel.
13. En kant er det som er på yttergrensen av noe.
14. En figur er det som inneholdes av en eller flere kanter.
15. En sirkel er en plan figur som inneholdes av en linje som er slik at alle rette linjer som faller på den fra et bestemt punkt blant disse som befinner seg inne i figuren, er like lange.
16. Og dette punktet kalles sirkelens sentrum.
17. Sirkelens diameter er en hvilken som helst rett linje gjennom sentrum som i begge retninger ender mot sirkelens periferi, og en slik rett linje deler sirkelen i to like store deler.
18. En halvsirkel er figuren som inneholdes av diameteren og periferien som diameteren skjærer av. Og halvsirkelens sentrum er det samme som sirkelens.
19. Rettlinjede figurer er de som inneholdes av rette linjer, tresidige figurer inneholdes av tre, firesidige av fire, og mangesidige av mer enn fire rette linjer.
20. Av tresidige figurer er en likesidet trekant en som har tre like sider, en likebent trekant en som kun har to like sider, og en skjevvinklet trekant en som har tre forskjellige sider.
21. Videre, blant tresidige figurer er en rettvinklet trekant en som har en rett vinkel, en stumpvinklet trekant en som har en stump vinkel, og en spissvinklet trekant en som har tre spisse vinkler.
22. Av firesidige figurer er et kvadrat den som både er likesidet og rettvinklet; et rektangel den som er rettvinklet men ikke likesidet; en rombe den som er likesidet men ikke rettvinklet; og en romboide den som har motstående sider og vinkler lik hverandre men hverken er likesidet eller rettvinklet. Og la andre firesidige figurer enn disse kalles trapeser.
23. Parallelle rette linjer er rette linjer som er i samme plan, og som uansett hvor mye de forlenges i begge retninger ikke møter hverandre i noen av retningene.

Postulater

La det følgende være forutsatt:
1. At man kan trekke en rett linje fra et hvilket som helst punkt til et hvilket som helst punkt.
2. At man kan forlenge en endelig rett linje kontinuerlig i en rett linje.
3. At man kan konstruere en sirkel med et hvilket som helst sentrum og en hvilken som helst radius.
4. At alle rette vinkler er like store.
5. At når en rett linje skjærer to rette linjer og de innvendige vinklene på samme side er mindre enn to rette vinkler, så vil de to rette linjene, hvis de forlenges ubegrenset, møtes på den siden hvor to de vinklene ligger som er mindre enn de to rette vinklene.

Aksiomer

1. Ting som er like store som den samme tingen, er også like store innbyrdes.
2. Hvis like store legges til like store, forblir de hele like store.
3. Hvis like store trekkes fra like store, forblir de gjenværende like store.
4. Ting som stemmer overens med hverandre, er lik hverandre.
5. Det hele er større enn sine deler.

Proposisjon 1

Problem: Å konstruere en likesidet trekant på en rett linje AB.

La AB være den gitte rette linjen. Det skal altså konstrueres en likesidet trekant på den rette linjen AB. La A være sentrum og konstruer en sirkel DCB [3. postulat]; la deretter B være sentrum og konstruer en sirkel ACE [3. postulat]; trekk de rette linjene AC og BC fra punktet C hvor de to sirklene skjærer hverandre [1. postulat]; ABC er da den ønskede trekanten.

Bevis: Siden punktet A er sentrum i sirkelen DCB, er lengden av AC lik lengden av AB [15. definisjon]. Igjen, siden punktet B er sentrum i sirkelen ACE, er lengden av BC lik lengden av AB [15. definisjon]. Men AC ble også vist å være like lang som AB, derfor er begge de rette linjene AC og BC like lange som AB. Og ting som er like den samme tingen, er også like hverandre [1. aksiom]; derfor er AC også like lang som BC. Følgelig er de tre rette linjene AC, AB og BC like lange. Derfor er trekanten ABC likesidet, og den er blitt konstruert på den rette linjen AB, hvilket skulle demonstreres.

Neste

Vi i Document ønsker å legge til rette for en interessant og høvisk debatt om sakene som vi skriver om. Vennligst les våre retningslinjer for debattskikk før du deltar 🙂